De fysische wet die het gedrag van een interagerend N-deeltjes kwantumsysteem beschrijft is gekend, namelijk de Schrödinger vergelijking. Deze dient doorgaans numeriek opgelost te worden. Een basisprobleem hierbij is dat de dimensie van de (Hilbert)ruimte van het kwantumsysteem exponentieel groeit naarmate het systeem groter wordt. Om toch een oplossing te vinden, gebruiken we allerlei benaderende methodes. In onze groep worden er verschillende van deze methodes onderzocht. Deze thesis gaat over één van deze methoden.

De golffunctie is het object dat de toestand van een kwantumsysteem volledig beschrijft. Om de grondtoestand van een kwantumsysteem te zoeken kun je bijvoorbeeld het variationeel principe gebruiken: hierbij beperken we de golffunctie tot een parametrizatie van een bepaalde analytische vorm, en variëren over de parameters om de laagste energietoestand te vinden. In dat geval wordt altijd een bovengrens voor de werkelijke grondtoestandsenergie gevonden.

Als de deeltjes in het systeem enkel paarsgewijs interageren (bijvoorbeeld via de Coulomb interactie) dan kan men een kwantumsysteem ook beschrijven met de zogenaamde tweedeeltjesdichtheidsmatrix (2DM). Men kan deze 2DM variëren tot de laagste energietoestand wordt gevonden. Dit is in principe exact, en heeft als voordeel dat de dimensie van de 2DM veel kleiner is dan de dimensie van de totale Hilbertruimte waardoor deze methode een stuk sneller zou kunnen zijn. Helaas is er een probleem: je mag enkel varieren over 'echte' 2DM's. Dat betekend dat elke matrix moet corresponderen met een fysische toestand of anders gezegd, de matrix moet afleidbaar zijn uit een golffunctie. Dit staat gekend als het N-representabiliteitsprobleem. Een praktisch bruikbare set van nodige en voldoende voorwaarden voor N-representeerbare dichtheidsmatrices is niet gekend. Wel zijn er verschillende sets van bruikbare nodige voorwaarden. Op die manier wordt een exacte ondergrens voor de energie gevonden. De nodige voorwaarden zijn te schrijven als het positief semidefiniet zijn van een matrix (geen negatieve eigenwaarden) die een functie is van de 2DM. Met dergelijke voorwaarden is het minimalisatieprobleem te herschrijven als een semidefiniet programma, wat een gekend optimalisatieprobleem is waarvoor verschillende algoritmes beschikbaar zijn.

Wie dit onderwerp kiest kan verschillende kanten uit. Als je graag programmeert kan je je bezig houden met de optimalizatiecode van het semidefiniet programma, of nieuwe algoritmes uitproberen. Je kan ook zelf nieuwe wiskundige N-representabiliteitsvoorwaarden bedenken en implementeren.

Je kan je ook meer toeleggen op de fysische aspecten. Interessante mogelijkheden zijn het 2D-Hubbard model, het homogeen elektron gas, quantum Hall systemen of atoomkernen.